1 Energie potentielle de
pesanteur
L'exemple simple
du fonctionnement d'une horloge à poids, montre expérimentalement que l'énergie
stockée est fonction de la masse (des poids) et de la hauteur atteinte.
Plus précisément,
elle est proportionnelle à la masse : on utilise des masses plus élevées
pour une horloge comtoise que pour un coucou, puis l'on admet assez facilement
qu'il faut deux fois plus de travail pour soulever deux objets identiques au
lieu d'un seul ! (linéarité)
Par ailleurs,
l'énergie croît proportionnellement à la hauteur : si l'on soulève le poids
deux fois plus, l'horloge fonctionnement sans doute deux fois plus longtemps.
Bref, ces
arguments expérimentaux nous amènent à définir
l'énergie "potentielle" de pesanteur d'une masse m sous la forme :
Ep(M) =f(z) = K ´ m ´ z = m g z
Où z est l'altitude de la masse m par rapport à un plan horizontal de
référence.
On écrit plutôt g pour la constante K, mais c'est une autre histoire...
Ce niveau de référence correspondant arbitrairement au niveau pour lequel
l'énergie disponible est nulle. Toujours pour notre horloge, ce peut être le
niveau du plancher de l'appartement ( et donc pas forcément le niveau de la mer
! ).
Si tout cela vous semble fabriqué, je ne suis pas
sûr que l'expression du poids : F = m g le soit beaucoup moins...
Cette énergie constitue notre premier champ
scalaire de l'espace
rencontré.
En mathématique, on pourrait se contenter de dire qu'il s'agit d'une
fonction réelle d'une variable. f(z). Il est pourtant essentiel de voir cette
grandeur dans l'espace géométrique ordinaire à trois dimensions. Ainsi, la
position du point M est repérée a priori par 3 coordonnées cartésiennes :
(x,y,z). Le lieu des points EP = Cste est une surface (z=Cste), en
l'occurence un plan :
Les plans horizontaux sont des équipotentielles du
champ de pesanteur
2 Notion de gradient
Une loi fondamentale de la nature est qu'une particule soumise à une
interaction caractérisée par une énergie potentielle subit une force s'écrivant :
F(M) = - GradM(EP)
Ceci nous amène
naturellement à définir la notion de gradient
Le gradient d'une fonction scalaire de l'espace
est une fonction vectorielle dont la composante dans une direction donnée est
égale à la dérivée spatiale de la fonction scalaire dans cette direction.
Examinons la conséquence de cette définition pour l'énergie potentielle de
pesanteur :
q
Si l'on
considère une direction horizontale, Ep ne varie pas , donc pas de dérivée
"horizontale" : le gradient de Ep est un vecteur vertical
q
Sa dérivée
dans la direction verticale est tout simplement
dEp / dlz
= dEp / dz = mg
q
Le vecteur
gradient s'écrit donc :
La définition même du gradient montre que ce champ vectoriel est en tout
point normal à la surface équipotentielle passant par ce point :
la direction verticale est normale
au plan horizontal
L'écriture différentielle de la dérivée distingue clairement l'approche
"physique" de l'approche mathématique qui ne sont pas contradictoires
mais l'une est plus "concrète" et l'autre plus abstraite.
En particulier, il est essentiel de comprendre que la dérivée spatiale,
n'est pas simplement la dérivée f ' d'une fonction par rapport à une variable
mais la variation d'une grandeur scalaire par unité de longueur dans une
direction donnée. La confusion est possible en coordonnées cartésiennes ( dl z
= dz ) mais conduit à une erreur en coordonnées polaires, et de manière
générale pour des coordonnées angulaires
( dl q = r dq ¹ d q )
L'approche physique montre mieux que la dimension physique du gradient
n'est pas celle du potentiel (
dérivation spatiale => division par une longueur) . Ainsi si l'énergie se
mesure en Joule, le gradient se mesure en Newton (J.m-1 ).
Notations mathématiques :
Si l'on utilise un repère cartésien ( x,y,z) alors EP = f(x,y,z)
et le vecteur gradient s'écrit :
